published on 10.11.2018

Slope of a line

$$ y=mx+b $$

m is the slope of the line. How to find the slope of a line or the equation of a line where you have 2 points?

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $$

Slope of a tangent line

$f'(x)$ returns the slope of a tangent line to $f(x)$ at $x$.

Cubic Function
Cubic Function

$$f(x) = x^3-6x^2+x-5$$, Find the equation of the tangent line to graph $f(x)$ at $x=1$.

Let’s say $g(x) = mx +b$ is the tangent line.

$$f'(x) = 3x^2-12+1$$

$$f'(1) = -8$$

$$f(1) = - 9$$

This means the slope of $g(x)$ is $-8$ and $g(1) = -9$.

As a result, $g(x) = -8x -1$

Diğer bir deyişle, $f'(x)$, $f(x)$‘in x noktasındaki tanjant doğrusunun eğimine karşılık gelir. Buna bağlı olarak kritik noktalarda $f’(x) = 0$ veya tanımsızdır. Min/Max noktalarında $f'(x) = 0$‘dır ve tanjant doğrusu düz olup eğimi sıfırdır.

Critical and Extremum Points

Alttaki resmi inceleyelim. Yukarıda da bahsettiğim gibi, birinci türev sıfır ve tanımsız olacaktır kritik noktarda ve bu kritik noktalar fonksiyonun içinde kalan (non-endpoints) noktalardır.

Critical Points
Critical Points

0, 1, 2 ve 3. noktalar kritik noktalardır. 2. noktada türev tanımlı değildir. Çünkü böyle bir uçta, tanjant doğrusun sonsuz şekilde çizebiliriz. Diğer noktalarda ise türev sıfırdır ya da o noktada çizilecek tanjant doğrusunun eğimi sıfırdır.

Şekle bakıldığında tüm kritik noktalarda max ya da min noktası (extremum) oluşmadığı görülür. $f’(x_3) = 0$ olmasına rağmen extremum noktası değildir.

Öyleyse bir noktanın extremum noktası olduğunu nasıl tespit ederiz?
Eğer, bir noktada tanjant doğrusu negatiften pozitife ya da pozitiften negatife geçiyorsa o nokta extremum noktasıdır.

$f'(x)>0 \to f'(x)<0$ : Maximum Point

Extremum Points
Extremum Points

Dikkat edersek, $x_3$ noktasından önce fonksiyon azalıyor ve türev sıfırdan küçük, aynı şekilde $x_3$ noktasından sonra da fonksiyon azalmaya devam ediyor.

Relation between $f(x),\ f'(x) \ and \ f''(x)$

Birinci türev bir noktada çizilecek tanjant doğrusunun eğimini verirken, ikinci türev de, türevin türevi olarak, fonksiyonun eğimindeki değişimi gösterecektir.

Resimdeki fonksiyonu, sırasıyla mor kısmı ve yeşil kısmı extremum noktalarından iki parça halinde ele alarak 4 parçada inceleyelim:

1. Kısım2. Kısım3. Kısım4. Kısım
maximum noktasına kadaryeşil kısma kadarminumum noktasına kadarminumum noktasından sonrası
$f'(x)>0$$f'(x)<0$$f'(x)<0$$f'(x)<0$
fonksiyon artmaktadırfonksiyon azalmaktadırfonksiyon azalmaktadırfonksiyon artmaktadır
$f''(x)<0$$f''(x)<0$$f''(x)>0$$f''(x)>0$
fonksiyon azalarak artmaktadırfonksiyon azalarak azalmaktadırfonksiyon artarak azalmaktadırfonksiyon artarak artmaktadır
fonksiyonun eğimi azalmaktadırfonksiyonun eğimi azalmaktadırfonksiyonun eğimi artmaktadırfonksiyonun eğimi artmaktadır
Concavity
Concavity

$f'(x)$‘in işaret değiştirdiği noktaya extremum point demiştik. $f’'(x)$‘in işaret değiştirdiği nokta ise inflection point denir.

Multivariable Functions

Eğer fonksiyon, multivariable ise $f(x,y,z,…)$ gibi… gradient fonksiyonu oluşturulup herbir değişken için kısmı türevine bakılır ve oluşan vektörün sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır ve maximum ya da minumum noktaları olabilirler. Ancak multivariable fonksiyonlarla devreye giren yeni bir olasılık da saddle point‘tir. Saddle Point

Convex ve Concave’lik açısından değerlendiriğinde eğer fonksiyon, multivariable ise $f(x,y,z,…)$ gibi… Herbir değişken için ikinci kısmi türevine (second order partial derivative) bakılır ve Hessian matrisi oluşturulur.

Published on 10.11.2018 by Mert Bakır with commit 4fa6ba7.
karalama
#math
published on 10.11.2018

Bir küme içerisinden seçilen her bir iki nokta için; bu iki nokta bir doğru ile birleştirildiğinde eğer bu doğru küme içerisinde kalıyorsa bu set convex settir. […] Any two convex set that don’t touch each other(don’t intersect) can be seperated by a simple straight line. …

published on 10.11.2018

While the mean and standard deviation are descriptive statistics, the mean and standard error describes bounds for a random sampling process. This difference changes the meaning of what is being reported: a description of variation in measurements vs a statement of uncertainty around the estimate of …

published on 24.01.2021
edited on 11.06.2021

Some time ago, I wanted to display image galleries on my Hugo website and searched for Hugo themes for photography and gallery. I can’t say I find much. Then, I met with a javascript library called nanogallery2 which is using another javascript library as an image viewer lightbox2. In this …

published on 23.01.2021
edited on 11.06.2021

Image processing may seem complicated at first but it’s actually easy and definitely worth implementing since it’ll help you decrease page load times. As you probably know, we don’t want to load raw images with huge sizes for small thumbnails or blog-posts. We want to load a small …

published on 31.12.2020
edited on 26.06.2021

I’ve, recently, published a blog post called Perfect Workflow for Publishing Python Notebooks. I talked about some of the benefits of using Rmarkdown and reticulate. In this post, I’ll try HTML widgets and explain how we can embed those in our blog post using nothing but R. […] 1 …

published on 05.12.2020

Resume A4 is a side project of mine. It’s one page Hugo Theme that allows you to write your resume in YAML format and keep track of it using git. Also, you can publish it online as a static site using GitLab, GitHub Pages, Netlify, or some other service you are familiar with. A few months …

published on 30.11.2020

I’ve been searching for a good workflow for publishing Jupyter or RMarkdown Notebooks as static blog posts. I think I’ve found the optimal solution for my use case. In this post, I’ll explain my workflow and why chose this way with examples. […] In reality my main purpose to …

published on 29.11.2020
edited on 05.12.2020

Plotly is a visualization library that allows us to write code in Python, R, or Julia and generates interactive graphs using Javascript. So, we don’t have to deal with Javascript. You can checkout Plotly gallery, there are interesting works. Anyway, last week, I’ve started learning …