published on 10.11.2018

Slope of a line

$$ y=mx+b $$

m is the slope of the line. How to find the slope of a line or the equation of a line where you have 2 points?

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $$

Slope of a tangent line

$f'(x)$ returns the slope of a tangent line to $f(x)$ at $x$.

Cubic Function
Cubic Function

$$f(x) = x^3-6x^2+x-5$$, Find the equation of the tangent line to graph $f(x)$ at $x=1$.

Let’s say $g(x) = mx +b$ is the tangent line.

$$f'(x) = 3x^2-12+1$$

$$f'(1) = -8$$

$$f(1) = - 9$$

This means the slope of $g(x)$ is $-8$ and $g(1) = -9$.

As a result, $g(x) = -8x -1$

Diğer bir deyişle, $f'(x)$, $f(x)$‘in x noktasındaki tanjant doğrusunun eğimine karşılık gelir. Buna bağlı olarak kritik noktalarda $f’(x) = 0$ veya tanımsızdır. Min/Max noktalarında $f'(x) = 0$‘dır ve tanjant doğrusu düz olup eğimi sıfırdır.

Critical and Extremum Points

Alttaki resmi inceleyelim. Yukarıda da bahsettiğim gibi, birinci türev sıfır ve tanımsız olacaktır kritik noktarda ve bu kritik noktalar fonksiyonun içinde kalan (non-endpoints) noktalardır.

Critical Points
Critical Points

0, 1, 2 ve 3. noktalar kritik noktalardır. 2. noktada türev tanımlı değildir. Çünkü böyle bir uçta, tanjant doğrusun sonsuz şekilde çizebiliriz. Diğer noktalarda ise türev sıfırdır ya da o noktada çizilecek tanjant doğrusunun eğimi sıfırdır.

Şekle bakıldığında tüm kritik noktalarda max ya da min noktası (extremum) oluşmadığı görülür. $f’(x_3) = 0$ olmasına rağmen extremum noktası değildir.

Öyleyse bir noktanın extremum noktası olduğunu nasıl tespit ederiz?
Eğer, bir noktada tanjant doğrusu negatiften pozitife ya da pozitiften negatife geçiyorsa o nokta extremum noktasıdır.

$f'(x)>0 \to f'(x)<0$ : Maximum Point

Extremum Points
Extremum Points

Dikkat edersek, $x_3$ noktasından önce fonksiyon azalıyor ve türev sıfırdan küçük, aynı şekilde $x_3$ noktasından sonra da fonksiyon azalmaya devam ediyor.

Relation between $f(x),\ f'(x) \ and \ f''(x)$

Birinci türev bir noktada çizilecek tanjant doğrusunun eğimini verirken, ikinci türev de, türevin türevi olarak, fonksiyonun eğimindeki değişimi gösterecektir.

Resimdeki fonksiyonu, sırasıyla mor kısmı ve yeşil kısmı extremum noktalarından iki parça halinde ele alarak 4 parçada inceleyelim:

1. Kısım2. Kısım3. Kısım4. Kısım
maximum noktasına kadaryeşil kısma kadarminumum noktasına kadarminumum noktasından sonrası
$f'(x)>0$$f'(x)<0$$f'(x)<0$$f'(x)<0$
fonksiyon artmaktadırfonksiyon azalmaktadırfonksiyon azalmaktadırfonksiyon artmaktadır
$f''(x)<0$$f''(x)<0$$f''(x)>0$$f''(x)>0$
fonksiyon azalarak artmaktadırfonksiyon azalarak azalmaktadırfonksiyon artarak azalmaktadırfonksiyon artarak artmaktadır
fonksiyonun eğimi azalmaktadırfonksiyonun eğimi azalmaktadırfonksiyonun eğimi artmaktadırfonksiyonun eğimi artmaktadır
Concavity
Concavity

$f'(x)$‘in işaret değiştirdiği noktaya extremum point demiştik. $f’'(x)$‘in işaret değiştirdiği nokta ise inflection point denir.

Multivariable Functions

Eğer fonksiyon, multivariable ise $f(x,y,z,…)$ gibi… gradient fonksiyonu oluşturulup herbir değişken için kısmı türevine bakılır ve oluşan vektörün sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır ve maximum ya da minumum noktaları olabilirler. Ancak multivariable fonksiyonlarla devreye giren yeni bir olasılık da saddle point‘tir. Saddle Point

Convex ve Concave’lik açısından değerlendiriğinde eğer fonksiyon, multivariable ise $f(x,y,z,…)$ gibi… Herbir değişken için ikinci kısmi türevine (second order partial derivative) bakılır ve Hessian matrisi oluşturulur.

Published on 10.11.2018 by Mert Bakır with commit 7dfab23.
random
#math
published on 10.07.2022

Previously, I’ve published a blog post about deploying static content on heroku with basic authentication. You can find the link here. In that post, we hosted the source code on GitLab and configured a CI/CD pipeline to render the static content a.k.a html files and push these files to Heroku. …

published on 28.05.2022

Each git commit has a field called Author which consists ‘user.name’ and ‘user.email’. We usually set these variables once, after installing git, with git config --global so that each repo gets the variables from the global definition. We can also set them locally for a …

published on 25.05.2022

In this post, I’ll first walk through hosting static content with basic authentication. Then, we’ll look into deploying to Heroku using GitLab Pipelines, more specifically deploying a certain sub-directory within the project instead of pushing the whole project. Also, I’ll share …

published on 17.04.2022
edited on 15.07.2022

Önceki bölümde, markdown formatını LaTeX formatına dönüştürmek için kullanılan Pandoc yazılımından bahsetmiştik. Şimdi konuyu bir adım daha ileri taşıyıp ve bookdown’a geçiyoruz. Bookdown; Rmarkdown kullanarak teknik dökümanlar, kitaplar yazabilmemizi sağlayan, Yihui Xie tarafından yazılmış …

published on 10.04.2022

I’ve been using WSL-2 on Windows for over a year. It’s very useful because some Python packages are just a headache to install on Windows. Also, docker. It’s just better on Linux. Yet, WSL-2 can also be problematic. I remember trying a dual-boot setup when things just went way too …

published on 03.03.2022

In this post, I’ll share how to install geopandas and some other gis related packages on Windows. If you are on Mac or Linux you can probably just pip install those without any issue. I usually had to do a google search every time I wanted to install these packages on Windows environment. Of …